Nếu gia tốc là một hằng số, phương trình vi phân Eq 1) có thể được tích phân trở thành vector gia tốc "A" của điểm "P" với hướng và độ lớn là hằng số. Một điểm như vậy được cho là chuyển động biến đổi đều[cần dẫn nguồn]. Trong trường hợp này, vận tốc V(t) và sau đó quỹ đạo P (t) của chất điểm có thể thu được bằng cách tích phân phương trình gia tốc A theo thời gian.[13]

Giả sử rằng các điều kiện ban đầu của vị trí, P 0 {\displaystyle \mathbf {P} _{0}} , và vận tốc V 0 {\displaystyle \mathbf {V} _{0}} tại thời điểm t = 0 {\displaystyle t=0} đã được cho trước, tích phân cấp một cho ra vận tốc của chất điểm dưới dạng một hàm theo thời gian.

V ( t ) = V 0 + ∫ 0 t A d τ = V 0 + A t . {\displaystyle \mathbf {V} (t)=\mathbf {V} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {A} d\tau =\mathbf {V} _{0}+\mathbf {A} t.}

Tích phân cấp hai cho ra đường đi của nó (quỹ đạo),

P ( t ) = P 0 + ∫ 0 t V ( τ ) d τ = P 0 + ∫ 0 t ( V 0 + A τ ) d τ = P 0 + V 0 t + 1 2 A t 2 . {\displaystyle \mathbf {P} (t)=\mathbf {P} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {V} (\tau )d\tau =\mathbf {P} _{0}+\int _{0}^{t}(\mathbf {V} _{0}+\mathbf {A} \tau )d\tau =\mathbf {P} _{0}+\mathbf {V} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} t^{2}.}

Ngoài ra, mối quan hệ giữa độ dời, vận tốc, gia tốc và thời gian có thể được lập ra. Vì gia tốc là hằng số nên,

A = Δ V Δ t = V − V 0 t {\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\Delta \mathbf {V} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {V} -\mathbf {V} _{0}}{t}}} có thể được thay thế thành phương trình trên để cho ra: P ( t ) = P 0 + ( V + V 0 2 ) t . {\displaystyle \mathbf {P} (t)=\mathbf {P} _{0}+\left({\frac {\mathbf {V} +\mathbf {V} _{0}}{2}}\right)t.}

Mối quan hệ giữa vận tốc, vị trí và gia tốc không phụ thuộc thời gian có thể được lập ra bằng cách chuyển gia tốc trung bình theo thời gian và thay thế và đơn giản hóa

t = V − V 0 A {\displaystyle t={\frac {\mathbf {V} -\mathbf {V} _{0}}{\mathbf {A} }}} ( P − P 0 ) ∘ A = ( V − V 0 ) ∘ V + V 0 2 {\displaystyle (\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0})\circ \mathbf {A} =\left(\mathbf {V} -\mathbf {V} _{0}\right)\circ {\frac {\mathbf {V} +\mathbf {V} _{0}}{2}}\,}

với dấu ∘ biểu thị tích vô hướng, nhằm thể hiện kết quả vô hướng chứ không phải là một vecto.

2 ( P − P 0 ) ∘ A = | V | 2 − | V 0 | 2 . {\displaystyle 2(\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0})\circ \mathbf {A} =|\mathbf {V} |^{2}-|\mathbf {V} _{0}|^{2}.}

Dấu chấm có thể được thay thế bằng cosin của góc α {\displaystyle \alpha } tạo bởi các vecto [cần dẫn nguồn] và tích của các vecto, trong trường hợp này:

2 | P − P 0 | ⋅ | A | ⋅ cos ⁡ α = | V | 2 − | V 0 | 2 . {\displaystyle 2|\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0}|\cdot |\mathbf {A} |\cdot \cos \alpha =|\mathbf {V} |^{2}-|\mathbf {V} _{0}|^{2}.}

Trong trường hợp gia tốc luôn cùng hướng chuyển động, góc ( α {\displaystyle \alpha } ) giữa các vecto bằng 0, vì cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} , nên

| V | 2 = | V 0 | 2 + 2 | A | ⋅ | P − P 0 | . {\displaystyle |\mathbf {V} |^{2}=|\mathbf {V} _{0}|^{2}+2|\mathbf {A} |\cdot |\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0}|.}

Điều này có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng ký hiệu cho độ lớn của vectơ | | A | | = a , | | V | | = v , | | P − P 0 | | = Δ x {\displaystyle ||\mathbf {A} ||=a,||\mathbf {V} ||=v,||\mathbf {P} -\mathbf {P} _{0}||=\Delta x} [cần dẫn nguồn] với Δ x {\displaystyle \Delta x} có thể là bất kỳ đường cong tròn nào được vẽ ra khi gia tốc tiếp tuyến liên tục chạy dọc theo quỹ đạo đó[cần dẫn nguồn], vì thế

v 2 = v 0 2 + 2 a ⋅ Δ x . {\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\cdot \Delta x.}

Điều này rút gọn phương trình tham số chuyển động của chất điểm thành mối quan hệ trong trục toạ độ Descartes của tốc độ so với vị trí. Mối quan hệ này rất hữu ích khi không xác định được thời gian. Ta cũng biết rằng Δ x = ∫ ( v ) d t {\displaystyle \Delta x=\int (v)dt} hay Δ x {\displaystyle \Delta x} là diện tích dưới biểu đồ a, v, t[14]

Biểu đồ vật lí giữa Vận tốc-Thời gian

. Ta có thể tìm Δ x {\displaystyle \Delta x} bằng cách cộng phần diện tích ở trên và phần diện tích bên dưới. Phần diện tích bên dưới là một hình chữ nhật, và diện tích hình chữ nhật bằng A ⋅ B {\displaystyle A\cdot B} với A {\displaystyle A} là chiều rộng và B {\displaystyle B} là chiều cao.[15] Trong trường hợp này A = t {\displaystyle A=t} và B = v 0 {\displaystyle B=v_{0}} (lưu ý rằng A {\displaystyle A} ở đây có gia tốc khác nhau a {\displaystyle a} ). Điều này có nghĩa là diện tích phần dưới bằng t v 0 {\displaystyle tv_{0}} . Bây giờ hãy tìm diện tích phần trên (một hình tam giác). Diện tích tam giác bằng 1 2 B H {\displaystyle {\frac {1}{2}}BH} với B {\displaystyle B} là cạnh đáy và H {\displaystyle H} là chiều cao.[16] Trong trường hợp này, B = t {\displaystyle B=t} & H = a t {\displaystyle H=at} hay A = 1 2 B H = 1 2 a t t = 1 2 a t 2 = a t 2 2 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}} . Cộng các kết quả t v 0 {\displaystyle tv_{0}} và a t 2 2 {\displaystyle {\frac {at^{2}}{2}}} ta được kết quả của biểu thức Δ x {\displaystyle \Delta x} là biểu thức Δ x = t v 0 + a t 2 2 {\displaystyle \Delta x=tv_{0}+{\frac {at^{2}}{2}}} .[17] Biểu thức này rất hữu dụng khi vận tốc cuối cùng v {\displaystyle v} chưa được xác định.

Hình 2: Vận tốc và gia tốc cho chuyển động tròn không đều: vector vận tốc là tiếp tuyến với quỹ đạo, nhưng vector gia tốc không hướng vào bên trong vì thành phần tiếp tuyến của nó aθ làm tăng tốc độ quay: dω/dt = |aθ|/R.